BAB 1

THE PHILOSOPHY OF MATHEMATICS EDUCATION

Paul Ernest 1991

BAB 1

SUATU KRITIK TERHADAP KEMUTLAKAN DALAM FILSAFAT MATEMATIKA

Pendahuluan

Kita akan menjelaskan dan mengkritik perspektif epistemologis yang dominan dalam matematika.Yaitu, pandangan absolut bahwa kebenaran matematika adalah mutlak, bahwa matematika adalah salah satu ilmu pengetahuan yang tidak diragukan lagi dan obyektif. Hal ini bertantangan dengan pandangan fallibilistbahwa kebenaran matematika adalahtidak mutlak, dan tidak pernah bisa dianggap sebagaisesuatu yang tidak perlu adanyarevisi dan koreksi. Banyak yang diperolehdari perbedaan absolut-fallibilist, diantaranya adalah perspektif filosofis yang diadopsi karena faktor epistemologis yang paling penting yang mendasari pengajaran matematika.

Filsafat Matematika

Filsafat matematika adalahcabang filsafat yangberujuanuntuk merenungkan dan menjelaskan sifat dari matematika. Banyak pertanyaan-pertanyaan yang muncul dalam Filosofi matematika seperti: Apa dasar untuk pengetahuan matematika? Apakah sifat kebenaran matematika? Apa ciri kebenaran matematika? Apa pembenaran untuk pernyataan mereka? Mengapa kebenaran matematika kebenaran yang diperlukan?.

Pendekatan secara luas diadopsiolehepistemologi, adalah untuk menganggap bahwa pengetahuan dalam bidang apapun diwakili oleh satu set proposisi, bersama-sama dengan prosedur untuk memverifikasi atau memberikan pembenaran pada  suatu pernyataan. Ketika pembuktian matematika didasarkan pada penarikan kesimpulan saja tanpa dengan data empiris, maka pengetahuan matematika dipahami sebagai pengetahuan yang paling diyakini. Secara tradisional, filsafat matematika bertujuan untuk memberikan dasar kepastian pengetahuan matematika. Yaitu, menyediakan sistem di mana pengetahuan  matematika dapat dibuang secara sistematis dalam membangun  kebenarannya. Hal ini tergantung pada asumsi yang diadopsi, yaitu secara implisit atau eksplisit.

Asumsi

Peran filsafat matematika adalah untuk memberikan landasan yang sistematis dan absolut untuk pengetahuan matematika, yaitu dalam nilai kebenaran matematika.

Asumsi ini adalah dasar dari foundationism, doktrin bahwa fungsi filsafat matematika adalah untuk memberikan dasar-dasar tertentu untuk pengetahuan matematika. Pandangan Foundationism terhadap pengetahuan matematika terikat dengan pandangan absolutist, yaitu menganggap bahwa kebenaran matematika adalah mutlak.

Hakekat dari Ilmu Matematika

Secara tradisional, matematika telah dipandang sebagai paradigma pengetahuan tertentu. Euclid mendirikan struktur logika yang luar biasa hampir 2.500 tahun lalu, yang sampai akhir abad kesembilan belas diambil sebagai paradigma untuk mendirikan kebenaran dan kepastian. Newton menggunakan unsur-unsur logika dalam bukunya Principia, dan Spinoza juga menggunakannya dalam bukunya Ethics, untuk memperkuat klaim mereka menjelaskan kebenaran secara sistematis. Matematika telah lama dianggap sebagai sumber pengetahuan tertentu yang paling dikenal umat manusia.

Sebelum menanyakan hakikat dari ilmu matematika, pertama-tama perlu mempertimbangkan hakikat  ilmu pengetahuan pada umumnya. Jadi kita mulai dengan pertanyaan, apa itu ilmu pengetahuan? pertanyaan tentang apa itu ilmu pengetahuan merupakan jantung filsafat, dan pengetahuan matematika memainkan peran khusus. Jawaban filosofis standar untuk pertanyaan ini adalah bahwa pengetahuan adalah kepercayaan yang dibenarkan. Lebih tepatnya, bahwa pengetahuan proposisional terdiri dari proposisi yang diterima (yaitu, dipercaya), asalkan ada dasar yang memadai untuk menegaskannya (Sheffler,; 1965; Chisholm, 1966; Woozley, 1949).

Pengetahuan diklasifikasikan berdasarkan pada pernyataan tersebut. Pengetahuan apriori terdiri dari proposisihanyaberdasarkan alasansaja, tanpa pengamatan dari dunia.Alasannyaterdiri dari penggunaan logika deduktif dan makna istilah, biasanya dapat ditemukan dalam definisi. Sebaliknya, empiris atau pengetahuan posteriori terdiri dari proposisi yang menjelaskan berdasarkanpengalaman, yaitu,denganpengamatan dunia (Woozley, 1949).

Pengetahuan matematika diklasifikasikan sebagai pengetahuan priori , karena terdiri dari proposisi yang menjelaskan atas dasar alasan saja. Alasannya, termasuk logika deduktif dan yang digunakan sebagai definisi, hubungannya dengan aksioma matematika atau postulat, adalah sebagai dasar untuk menyimpulkan pengetahuan matematika. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwapengetahuan dasar matematika yaitu dasar untuk menyatakan kebenaran proposisi matematika,yangterdiri dari bukti deduktif.

Bukti dari proposisi matematika adalah proposisi terbatas yang memenuhi syarat cukup. Setiap pernyataan adalah aksiomayang berdasarkanseperangkat aksioma sebelumnya, atau diperoleh dengan aturan penarikan kesimpulan dari satu atau lebih pernyataan yang telah ada sebelumnya. Istilah aksioma dipahami secara luas,yang merupakanpernyataan yang diakui menjadi bukti tanpademonstrasi. Selain aksiomayaitudalil-dalil dan definisi.

Contohnya adalah pembuktian pernyataan 1 + 1 =2 dalam system aksiomatik Peano Aritmatika . Untuk membuktikannya kita memerlukan definisi-definisi dan aksioma♠aksioma S0 =1, sl=2, x +0= x, x +sy= s (x + y) dari Peano aritmatika, dan aturan-aturan logika penarikan kesimpulan dari P (r), r=t P(t);  P (v) P (c) (di mana r, t; v; c; dan P (t) kisaran berkala; variable; konstanta; dan proposisi dalam masa t,  dan '綠'adalah tanda Implikasi logis) . Berikut ini adalah bukti dari 1 + 1 = 2: x + sy-s (x + y), 1 + sy = s (1 + y), 1 + S0 = s (1+0), x+0 = x, 1+0 = 1, 1 + S0 = s1, S0 = 1, 1 +1 = s1, sl = 2, 1 +1 = 2. Penjelasan tentang bukti ini adalah sebagai berikut. S0 = 1 [D1] dan s1=2 [D2] adalah definisi dari konstanta 1 dan 2,dalamPeano Aritmatika. x 0=x[Al] dan x + sy=s (x + y) [A2]adalah aksioma dari Peano Aritmatika. P (r), r = t P (t) [R1] dan P (v) P (c)[R2], dengan simbol-simbol seperti yang dijelaskan di atas adalah aturan-aturan logika penarikan kesimpulan.

Bukti ini menetapkan '1 + 1 = 2 'sebagaiitempengetahuan matematika atau kebenaran,sesuai dengananalisis sebelumnya,yaitubukti deduktif legitimasi untukmenjelaskanpernyataan itu. Lebih lanjut, pengetahuan priori, dinyatakan atas dasar alasan saja.

Namun, sesuatu yang belum jelas adalah alasan untuk asumsi yang dibuat dalam pembuktiannya. Asumsi yang dibuat adalah dari dua jenis: asumsi matematis dan logis.Asumsi matematis yang digunakan adalah definisi (D1 dan D2) dan aksioma (Al dan A2). Asumsi logis merupakan aturan-aturan inferensi yang digunakan adalah (R1 dan R2), yang merupakan bagian dari bukti teori yang mendasari, dan sintaks dasar bahasa formal.

Kami menganggap yang pertama asumsi matematis. Definisi- definisi yang eksplisit, yang unproblematic, karena itu eliminable pada prinsipnya. Setiap kejadian dari ketentuan yang ditetapkan 1 dan 2 dapat digantikan olehsesuatu yang memperpendek(SO dan SSO).Hasil menghilangkan definisi ini adalah bukti disingkat: x + sy = s (x + y), SO + sy = s (SO + y), SO + SO = s (S0+0), x+0 = x, SO + O = SO,SO + SO = SSO; yang menunjukkan '1 + 1 = 2 '. Meskipun definisi eksplisit adalah eliminable pada prinsipnya, itu tetap merupakan kenyamanan yang tak diragukan, belum lagi bantuan untuk berpikir, untuk mempertahankannya. Namun, dalam konteks ini kami mengurangi asumsi untuk minimumkannya, untuk mengungkapkan asumsi yang tereduksi pengetahuan matematika dan pembenaran.

Jika definisi belum eksplisit, seperti dalam definisi asli induktif tentang penambahankaryaPeano (Heijenoort, 1967), yang diasumsikan di atas sebagai sebuah aksioma, dan bukan sebagai definisi, maka definisi tidak akan eliminable pada prinsipnya. Dalam hal ini masalah dasar definisi, yaitu pada asumsi yang bersandar adalah sama dengan yang aksioma.

Aksioma dalam buktinya tidak eliminable. Mereka harus dianggap baik sebagai kebenaran aksiomatik jelas, atau hanya mempertahankan status dibenarkan, asumsi sementara, diadopsi untuk memungkinkan perkembangan dari teori matematika di bawah pertimbangan. Kami akan kembali ketitik ini. Asumsi logis, yaitu aturanpenarikan kesimpulan(bagian dari bukti teori secara keseluruhan) dan sintaks yanglogis, diasumsikan sebagai bagian dari logika yang mendasari, dan merupakan bagian dari mekanisme yang diperlukan untuk penerapan alasan. Jadi logika dianggap sebagai dasar unproblematic untuk pembenaranilmupengetahuan.

Singkatnya, kebenaran matematika dasar '1+ 1 =2', tergantung pada pembenaranpembuktian matematis. Hal ini pada gilirannya tergantung pada asumsi sejumlah pernyataan matematika dasar (aksioma), serta pada logika yang mendasari. Secara umum, pengetahuan matematika terdiri daripernyataan yangdibenarkan oleh bukti, yang tergantung pada aksioma matematika (dan logika yang mendasari).

Penjelasanpengetahuan matematika pada dasarnya telah diterima hampir 2.500 tahun. Awal presentasi pengetahuan matematika, seperti Euclid's Elements, berbeda daripenjelasandi atas hanya oleh derajat. Dalam Euclid, seperti di atas, pengetahuan matematika dibentuk oleh deduksi logis dari teorema dari aksioma dan dalil-dalil (yang termasuk aksioma). Logika yang mendasari tidak ditentukan (selain pernyataan dari beberapa aksioma tentang hubungan kesetaraan). Aksiomayangtidak dianggap sebagai asumsi sementara diadopsi, yang digunakan hanya untuk pembangunan teori berdasarkan pertimbangan. Aksioma yang menjadidasar kebenaran tidak diperlukan adanyapembenaran (Blanche, 1966). Karena itu, bukti logis mempertahankan kebenaran dan diasumsikan aksioma adalah kebenaran yang jelas, maka setiap teorema yang berasal darinyajuga harus kebenaran (alasan ini secara implisit, tidak eksplisit dalam Euclid). Namun, klaim ini tidak lagi diterima karena aksioma Euclid dan postulat tidak dianggap sebagai dasar dan tak terbantahkan kebenaran, tidak satu pun yang dapat menegasikan atau ditolak tanpa menyebabkan kontradiksi. Bahkan, penolakan beberapa dari mereka, terutama Postulat Paralel, hanya mengarah ke tubuh lain pengetahuan geometrik (geometri non-euclidean).

Beyond Euclid, pengetahuan matematika modern mencakup banyak cabang yang bergantung pada asumsi aksioma-aksioma yang tidak dapat diklaim sebagai dasar kebenaran universal, misalnya, aksioma teori group atau teori himpunan (Maddy, 1984).

Pandangan AbsolutisdalamPengetahuan Matematika

Pandangan absolutis dalam pengetahuan matematika adalah bahwa hal itu terdiri dari kebenaran tertentu dan unchallengeable (tidak dapat ditantang). Menurut pandangan ini, pengetahuan matematika adalah kebenaran mutlak, dan merupakan pengetahuan yang unik, terlepas dari logika dan pernyataan yang benar berdasarkan makna istilah, seperti 'Semua bujangan adah yang belum menikah'.

Banyak filsuf, baik moderndan tradisional, memiliki pandangan yang absolut dari pengetahuan matematika. Dengan demikian, menurut Hempel: validitas matematika berasal dari ketentuan yang menentukan makna dari konsep-konsep matematika, dan bahwa proposisi matematika pada dasarnya adalah'benar dengan definisi'. (FeigI dan Sellars, 1949, halaman 225).

Pendukung lain kepastian matematika A.J.Ayer yang mengklaim berikut. Sedangkan generalisasi ilmiah adalah mudah mengaku menjadi keliru, tampaknya kebenaran matematika dan logika diperlukan semua orang dan pasti.

Kebenaran logika dan matematika adalah proposisi analitik atau tautologies (pernyataan/berlebih-lebihan).

Kepastian dari proposisi apriori tergantung pada kenyataan bahwa mereka adalah tautologies. Sebuah proposisi adalah tautologi jika analitik. proposisi adalah analitik jika kebenarannya semata-mata keutamaan makna simbol consistituent, dan dengan demikian tidak dapat dikonfirmasi atau ditolak baik oleh fakta pengalaman. (Ayer, 1946, halaman 72, 77 dan 16).

Metode deduktif memberikan pernyataan pengetahuan matematika. Dasardasar untuk mengklaim bahwa matematika (dan logika) memberikan pengetahuan benar-benarpasti, bahwa adalah kebenaran,yaitusebagai berikut. Pertama-tama, pernyataan dasar yang digunakan dalam pembuktian dianggap benar. aksioma Matematika diasumsikan benar, untuk tujuan pengembangan sistem yang sedang dipertimbangkan, definisi matematika adalah benar dengan fiat , dan aksioma-aksioma logis diterima sebagai benar. Kedua, aturan logika penarikan penyimpulan adalah kebenaran, yang memungkinkan mereka tidak lain hanyalah kebenaran harus disimpulkan dari kebenaran. Berdasarkan dari kedua fakta tersebut, setiap pernyataan dalam bukti deduktif, termasuk kesimpulan adalah benar. Jadi, karena semua teorema matematika dibentuk oleh alat bukti deduktif, maka semua itu adalahkebenaran yang pasti. Ini merupakan dasar dari banyak filsuf yang mengklaim bahwa kebenaran matematika adalah kebenaran yang pasti.

Pandangan absolutis terhadap pengetahuan matematika didasarkan pada dua jenis asumsi: para pakar matematika, mengenai asumsi aksioma dan definisi, dan para pakar logika tentang asumsi aksioma, aturan inferensi dan bahasa formal dan sintaks-nya. Ini adalah lokal atau mikro-asumsi. Ada juga kemungkinan global atau makro-asumsi, misalnya apakah cukup deduksi logis untuk mendirikan semua kebenaran matematis. penjelasan kemudian akan menyatakan bahwa masing-masing asumsi melemahkan klaim kepastian untuk pengetahuan matematika.

Pandangan absolutis pengetahuan matematika mengalami masalah pada awal abad kedua puluh ketika sejumlah antinomies (pernyataan kontroversi) dan kontradiksi (pertentangan) diturunkan dalam matematika (Kline, 1980; Kneebone, 1963; Wilder, 1965). Dalam serangkaian publikasi Gottiob Frege (1879, 1893) yang didirikan oleh jauh paling ketat dalam perumusan logika matematika yang dikenal waktu itu sebagai dasar untuk pengetahuan matematika. Namun, Russell (1902) mampu menunjukkan bahwa sistem Frege itu tidak konsisten. Masalahnya terletak pada Hukum Frege Kelima, yang menetapkan harus dibentuk dari perluasan konsep apapun, dan untuk konsep atau properti yang akan diterapkan pada set (Furth, 1964). Russell menghasilkan paradoks yang terkenal dengan mendefinisikan milik 'yang tidak merupakan suatu unsur itu sendiri'. hukum Frege memungkinkan perluasan properti ini harus dianggap sebagai suatu perangkat. Tapi kemudian menetapkan ini merupakan unsur itu sendiri jika dan hanya jika tidak kontradiksi. Hukum Frege tidak dapat dijatuhkan tanpa serius melemahnya sistem,dan namun tidak bisa dipertahankan.

Kontradiksi lainnya juga muncul dalam teori himpunan dan teori fungsi. temuan semacam itu tentu saja implikasi buruk untuk tampilan absolut dari pengetahuan matematika. Karena jika matematika yang pasti, dan semua teorema menghasilkan yang pasti, bagaimana bisa kontradiksi (yaitu, kepalsuan) harus antara teorema nya? Karena tidak ada kesalahan tentang munculnya kontradiksi-kontradiksi ini, sesuatu harus salah dalam dasar-dasar matematika. Hasil dari krisis ini adalah pengembangan dari sejumlah sekolah dalam filsafat matematika yang bertujuan untuk  menjelaskan sifat dari pengetahuan matematika dan untuk mendirikan kembali kepastiannya. Ketiga kelompok (aliran) utama yang dikenal sebagai logicism, formalisme dan konstruktivisme (menggabungkan intuisionisme). Prinsip-prinsip pemikiran sekolah ini belum sepenuhnya dikembangkan sampai abad kedua puluh, tapi Korner (1960) menunjukkan bahwa akar filosofis mereka dapat ditelusuri kembali setidaknya pada masa Leibniz dan Kant.

Logicsm

Logicsm adalah sekolah pemikiran yang menganggap matematika murni sebagai bagian dari logika. Pendukung utama pandangan ini adalah G. Leibniz, G. Frege (1893), B. Russell (1919), AN Whitehead dan R. Carnap (1931). Di tangan Bertrand Russell klaimlogicism menerima perumusan secara terbuka dan paling eksplisit.Ada dua klaim:

Semua konsep matematika akhirnya dapat direduksi menjadi konsep logis, asalkan ini diambil untuk memasukkan konsep teori himpunan atau sistem yang mirip seperti Teori Russell.

Semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan inferensi logika sendiri.

Tujuan dari klaim ini jelas. Jika matematika dapat dinyatakan dalam istilah murni logis dan terbukti dari prinsip-prinsip logis saja, maka kepastian pengetahuan matematika dapat dikurangi dengan logika. Logika dianggap untuk memberikan landasan tertentu untuk kebenaran, terlepas dari upaya untuk memperluas logika, seperti Hukum Frege Kelima. Jadi jika dilakukan melalui, program logicist akan memberikan dasar-dasar logis tertentu untuk pengetahuan matematika, membangun kembali kepastian yang mutlak dalam matematika.

Whitehead dan Russel (1910-1913) mampu membuktikan pertama dari dua klaim melalui rantai definisi. Namun logicism terbentur pada klaim kedua. Matematika memerlukan aksioma non-logis seperti Aksioma Infinity (himpunan semua bilangan alami adalah tak terbatas) dan Aksioma Pilihan (produk Cartesian dari anggota non-set kosong itu sendiri tidak kosong). Russell sendiri menyatakan sebagai berikut.

Tapi meskipun semua logis (atau matematika) proposisi dapat dinyatakan sepenuhnya dalam hal konstanta logis bersama-sama dengan variabel-variabel, bukan hal itu, sebaliknya, semua proposisi yang dapat dinyatakan dengan cara logis. Kami telah menemukan sejauh kriteria yang diperlukan tapi tidak memadai proposisi matematika. Kami telah cukup mendefinisikan karakter dari ide-ide primitif dalam hal mana semua ide-ide matematika dapat didefinisikan, tetapi tidak dari proposisi primitif dari mana semua proposisi matematika dapat disimpulkan ini adalah masalah yang lebih sulit, untuk yang belum diketahui jawabansepenuhnya.

Kita dapat mengambil aksioma infinity sebagai contoh proposisi yang meskipun dapat dikemukakan dalam hal logis,namuntidak dapat dinyatakan dengan logikauntuk menjadipembenaran.

(Russell, 1919, halaman 202-3, penekanan asli)

Jadi tidak semua teorema matematika dapat diturunkan dari aksioma-aksioma logika sendiri. Ini berarti bahwa aksioma matematika tidak eliminable mendukung logika tersebut. teorema Matematika tergantung pada asumsiasumsi matematis yang tereduksi. Memang, sejumlah aksioma matematika yang penting adalah independen, dan baik mereka atau negasi mereka dapat diadopsi tanpa inkonsistensi  (Cohen, 1966). Jadi klaim logicism kedua terbantahkan.

Untuk mengatasi masalah ini Russellkembalike versi yang lebih lemah dari logicism disebut 'if-thenism', yang mengklaim bahwa matematika murni terdiri dari laporan implikasi dari bentuk 'A T '. Menurut pandangan ini, seperti sebelumnya, kebenaran matematika yang didirikan sebagai dalil oleh buktibukti logis. Masing-masing teorema (T) menjadi akibat dalam pernyataan implikasi. Gabungan dari aksioma matematika (A) digunakan dalam buktian digabungkan ke dalam pernyataan implikasi sebagai pendahuluan (lihat Carnap, 1931). Jadi, semua asumsi matematika (A) yang tergantung pada teorema (T) sekarang dimasukkan ke dalam bentuk baru dari teorema (A-NT), menghindarikebutuhan aksioma matematika.

Hal ini menimbulkan pengakuan bahwa matematika adalah sistem hypotheticodeductive, di mana konsekuensi dari aksioma-aksioma diasumsikan dieksplorasi, tanpa menegaskan kebenarannya. Sayangnya, perangkat ini juga mengarah pada kegagalan, karena tidak semua kebenaran matematika, seperti 'aritmatika Peano konsisten,' dapat disajikan dalam laporan ini dengan cara sebagai implikasi, Machover (1983) berpendapat.

Keberatan kedua, yang memegang terlepas dari validitas dari dua klaim logicist, merupakan alasan utama penolakan terhadap formalisme. Ini adalah Teorema ketidak lengkapan Godel, yang menetapkan bahwa bukti deduktif tidak mencukupi untuk menunjukkan semua kebenaran matematis. Oleh karena itu keberhasilan pengurangan aksioma matematika untuk logika mereka masih tetap tidak cukup sebagai sumber dari semua kebenaran matematika.

Sebuah keprihatinan keberatan ketiga mungkin kepastian dan kehandalan dari dasar logika.Hal ini tergantung pada teruji dan, seperti yang akan dikatakan, asumsiberalasan.