Lanjutan BAB 1

B. Formalisme

            Dalam istilah populer, formalisme adalah pandangan bahwamatematika adalah permainan yang dimainkan dengan formal berarti tanda di atas kertas, mengikuti aturan. Jejak filsafat formalis matematika dapat ditemukan dalam tulisan-tulisan Uskup Berkeley, tapi para pendukung utama formalisme adalah David Hilbert (1925), awal J. von Neumann (1931) dan h. kari (1951). Program formalis Hilbert bertujuan untuk menerjemahkan ke dalam sistem formal matematika yang tidak ditafsirkan. Dengan cara pembatasan tetapi metamatematika berarti sistem formal yang akan ditampilkan menjadi cukup untuk matematika, oleh rekan-rekan formal yang berasal dari semua kebenaran matematika, dan aman untuk matematika, melalui bukti konsistensi.

Tesis (teori) formalis terdiri dari dua klaim.

Matematika murni dapat ditafsirkan sebagai sistem formal, dimana kemudian kebenaran matematika diwakili oleh dalil formal keamanan sistem formal dapat ditunjukkan dalam hal kebebasan dari inkonsistensi (ketidakserasian) melalui meta-matematika.

Teorema ketidak lengkapan Kurt Godel (Godel, 1931) menunjukkan bahwa program tidak dapat terpenuhi. Teorema yang pertama menunjukkan bahwa bahkan tidak semua kebenaran aritmatika dapat diturunkan dari Aksioma Peano (atau yang lebih besar aksioma rekursif).

Hasil ini bukti-teori telah dilakukan sejak dicontohkan dalam matematika oleh Paris dan Harrington, yang versi Teorema Ramsey benar, tetapi tidak dapat dibuktikan di Peano aritmatika (Barwise, 1977). Teorema ketidaklengkapan kedua menunjukkan bahwa dalam kasus-kasus yang diinginkan memerlukan bukti konsistensi meta-matematika lebih kuat daripada sistem yang akan dilindungi, yang dengan demikian tidak ada perlindungan sama sekali. Misalnya, untuk membuktikan konsistensi Peano Aritmatika mengharuskan semua aksioma dari sistem dan asumsi lebih lanjut, seperti prinsip induksi transfuuite atas ordinals dpt dihitung (Gentzen, 1936).

Program formalis, sudah itu berhasil, akan memberikan dukungan untuk pandangan absolutis kebenaran matematika. Sebagai bukti formal, yang berbasis di sistem matematika formal yang konsisten, akanmemberikan batu ujian untuk kebenaran matematika. Namun, dapat dilihat bahwa baik klaim formalisme telah membantah. Tidak semua kebenaran matematika dapat direpresentasikan sebagai teorema dalam sistem formal, dan lebih jauh lagi, sistem itu sendiri tidakdapat dijamin aman

C. Constructivism

Para konstruktivis berdiri dalam filsafat matematika dapat ditelusuri kembali setidaknya oleh Kant dan Kronecker (Korner, 1960). Salah satu program para konstruktivis adalah merekonstruksi pengetahuan matematika (dan mereformasi praktek matematika) dalam rangka untuk menjaga dari kehilangan makna, dan dari kontradiksi. Untuk tujuan ini, konstruktivist menolak argumen non-konstruktif seperti bukti Cantor bahwa bilangan real tak terhitung, dan sifat logika dari Law of the Excluded Middle.

Para konstruktivis terpopuler adalah intuitionists LEJ Brouwer (1913) dan Heyting A. (1931, 1956). Baru-baru ini ahli matematika E. Bishop (1967) telah melakukan konstruktivis dengan merekonstruksi sebagian besar Analisis. Berbagai bentuk konstruktivisme masih berkembang saat ini, seperti dalam karya filosofis intuisionis M. Dummett (1973, 1977). Konstruktivisme meliputi berbagai seluruh pandangan yang berbeda, mulai dari ultra-intuitionists (A. Yessenin-Volpin), via what may be termed strict philosophical intuitionists (L.E.J. Brouwer), middle-of-the-road intuitionists(A. Heyting dan awal H Weyl), intuitionists logis modern (A. Troelstra) sedangkan konstruktivis liberal adalah P. Lorenzen, E. Bishop, G. Kreisel dan P. Martin-Lof.

Ahli matematika ini beranggapan bahwa pandangan matematika klasik mungkin tidak aman, untuk itu perlu dibangun kembali dengan mengkonstruktif metode dan penalaran. Konstruktivis menyatakan bahwa kebenaran matematika dan keberadaan objek matematika harus dibentuk dengan metode konstruktif. Ini berarti bahwa tujuan konstruksi matematika adalah untuk mendirikan kebenaran atau keberadaan objek matematika, sebagai lawan untuk metode yang bergantung pada pembuktian dengan kontradiksi. Bagi konstruktivis pengetahuan harus ditetapkan melalui pembuktian konstruktif, berdasarkan logika konstruktivis terbatas, dan makna dari istilah matematika / objek terdiri dari prosedur formal dengan mana mereka dibangun. Meskipun beberapa konstruktivis berpendapat bahwa matematika adalahstudi tentang proses konstruktif yang dilakukan dengan pensil dan kertas, pandangan yang lebih ketat dari intuitionists, dipimpin oleh Brouwer, adalah matematika terjadi terutama dalam pikiran, dan matematika tertulis adalah sekunder. Satu konsekuensi dari hal ini, Brouwer menganggap semua axiomatizations dari logika intuitionistic adalah tidak lengkap. Refleksi selalu dapat menemukan secara intuitif lebih lanjut tentang kebenaran aksioma dalam intuitionistic logika, sehingga tidak pernah dapat dianggap sebagai berada dalam bentuk akhir.

Intuisionisme merupakan filsafat konstruktivis yang paling penuh dirumuskan dari matematika. Dua klaim dari intuisionisme yaitu tesis Dummett positif dan tesis Dummett negatif.

Tesis Dummett positif adalah efek bahwa cara intuitionistic dari construing gagasan matematis dan operasi logis adalah satu koheren dan sah bahwa matematika intuitionistic membentuk tubuh dipahami dari teori. tesis negatif adalah efek bahwa cara klasik construing gagasan matematis dan operasi logis yang koheren dan tidak sah, bahwa matematika klasik, sementara yang mengandung, dalam bentuk terdistorsi (memutar balikan fakta), banyak nilai, adalah, bagaimanapun, seperti berdiri dimengerti.

(Dummett, 1977,. Halaman 3 '60).

Di daerah-daerah terbatas di mana terdapat baik klasik dan konstruktivis bukti hasilnya, yang terakhir sering lebih baik sebagai lebih informatif. Sedangkan bukti keberadaan klasik hanya mungkin menunjukkan perlunya logis dari keberadaan, bukti keberadaan konstruktif menunjukkan bagaimana untuk membangun objek matematika yang eksistensinya ditegaskan. Hal ini meminjamkan kekuatan pada tesis positif, buih titik pandang matematika. tentunya, tesis negatif jauh lebih bermasalah, karena tidak hanya gagal ke account untuk tubuh besar matematika klasik non-konstruktif, tetapi juga menyangkal validitasnya. Para konstruktivis tidak menunjukkan bahwa ada masalah tak terelakkan menghadapi matematika klasik atau bahwa hal itu tidak koheren dan tidak valid. Memang klasik matematika baik murni dan diterapkan telah semakin kuat sejak program konstruktivis diajukan. Oleh karena itu, tesis negatif dari intuisionisme ditolak.

Masalah lain untuk tampilan konstruktivis, adalah bahwa beberapa hasil yang tidak konsisten dengan matematika klasik. Jadi, misalnya,kontinum bilangan real, sebagaimana didefinisikan oleh intuitionists, adalah dpt dihitung. Hal ini bertentangan dengan hasil klasik bukan karena ada kontradiksi yang melekat, tapi karena definisi bilangan real berbeda. Konstruktivisme gagasan sering memiliki makna yang berbeda dari konsep-konsep klasik terkait.

Dari perspektif epistemologis, baik tesis positif dan negatif dari intuisionisme adalah cacat. Klaim para intuisi untuk memberikan landasan tertentu dalam  versi mereka kebenaran matematis dengan menurunkan itu (mental) dari intuitif aksioma tertentu, menggunakan metode yang aman secara intuitif. Pandangan ini mahtematical basis pengetahuan secara eksklusif pada keyakinan subjektif. Tapi kebenaran mutlak (yang intuitionists klaim untuk menyediakan) tidak dapat didasarkan pada keyakinan subjektif saja. Juga tidak ada jaminan bahwa intuisi intuitionists berbeda 'kebenaran dasar ini akan bertepatan, karena memang mereka tidak

Jadi tesis positif dari intuisionisme tidak memberikan dasar tertentu bahkan untuk bagian dari pengetahuan matematika. Kritik secara luas menjadi bentuk lain dari  aliran konstruktif  yang juga mengklaim kebenaran dasar matematika konstruktif atas dasar kejelasan asumsi sebagai landasan konstruktivis. Tesis negatif dari aliran intuisi, (dan aliran kontruktif ketika memeluk), menyebabkan penolakan dasar pengetahuan matematika diterima, dengan alasan bahwa hal itu tidak dapat dimengerti. Tapi matematika klasik dapat dipahami. Ini berbeda dari matematika  konstruktif yang sebagian besar menggunakan  asumsi sebagai dasarnya. Jadi konstruktivisme punya kesalahan  yang analog dengan jenis kesalahan tipe I dalam statistik, yaitu penolakan terhadap pengetahuan yang valid.

5. Kekeliruan aliran absolut

Kita telah melihat bahwa sejumlah filsufmatematika absolut telah gagal untuk menetapkan kebutuhan logis dari pengetahuan matematika. Masing-masing dari tiga kelompok pemikiran baik logicism, formalisme dan intuisionisme (bentuk yang paling jelas diucapkan konstruktivisme) berupaya untuk menyediakan dasar yang kuat untuk kebenaran matematis,  dengan bukti matematika dari suatu wilayah terbatas tapi tepat untuk kebenaran. Dalam setiap kasus ada yang meletakkan dasar yang aman untuk kebenaran mutlak. Untuk logicists, formalis dan intuitionists ini terdiri dari aksioma logika, secara intuitif tertentu dari prinsip-prinsip meta-matematika, dan aksioma jelas dari 'intuisi primordial', masing-masing. Masing-masing  aksioma atau prinsip-prinsip diasumsikan tanpa demonstrasi. Selanjutnya masing-masing tetap terbuka untuk  didiskusikan, untuk menghilagkan  keraguan. Selanjutnya masing-masing kelompok ini menggunakan logika deduktif untuk membuktikan kebenaran teorema matematika dari dasar yang telah diasumsikan mereka. Akibatnya ketiga kelompok pemikiran gagal untuk menetapkan kepastian yang mutlak tentang kebenaran matematika.

Untuk logika deduktif hanya menyalurkan kebenaran, tidak memasukkan kebenaran, dan kesimpulan dari pembuktian logis sangat lemah. Dapat dikatakan bahwa upaya ketiga kelompok  juga gagal untuk memberikan landasan untuk  sepenuhnya  kebenaran matematis dengan cara ini. Untuk  menunjukkan ketidaklengkapan  teorema pertama Godel, bukti ini tidak cukup untuk menunjukkan kebenaran semua. Jadi ada kebenaran matematika tidak ditangkap oleh sistem kelompok  ini. Kenyataan bahwa tiga kelompok pemikiran dalam filsafat matematika telah gagal untuk menetapkan kepastian pengetahuan matematika dan tidak menyelesaikan masalah umum. Masih mungkin untuk alasan lain yang akan ditemukan untuk menegaskan kepastian kebenaran matematika. Kebenaran absolute dalam matematika masih kemungkinan. Namun kemungkinan ini ditolak oleh argumen umum yang  sesuai untuk status kepastian  kebenaran matematika. Ini mirip argumen umum yang digunakan di atas untuk mengkritik tiga kelompok, karena mereka semua mengandalkan sistem deduktif.

Lakatos (1962) menunjukkan bahwa pencarian akan kepastian dalam matematika pasti mengarah ke lingkaran setan. Setiap sistem matematik tergantung pada seperangkat asumsi, dan mencoba membangun kepastian  dengan membuktikannya, mengarah ke regresi tak terbatas. Tidak ada cara pemakaian asumsi. Tanpa bukti, asumsi tetap berkeyakinan keliru, dan tidak pengetahuan tertentu. Semua kita lakukan adalah untuk meminimalkan kekeliruan itu, dapatdikurangi  satu set aksioma , yang mana  kita harus terima dengan baik  tanpa bukti, sehingga  lingkaran setan dapat dieliminir. Penggantian  di sirkuit lebih lanjut dari lingkaran setan.  Mengurangi serangkain aksioma hanya dapat ditiadakan dengan asumsi paling sedikit punya kekuatan yang sama. Jadi kita tidak dapat menentukan kepastian matematika tanpa membuat asumsi, yang berakibat gagal menjadi kepastian yang mutlak.

Perlu dipahami bahwa argumen ini ditujukan sebagai keseluruhan pengetahuan matematika, dan tidak dibingkai untuk sistem  tunggal atau bahasa formal. Banyak usaha untuk memberikan landasan untuk matematika dalam bahasa seperti mengelola untuk mengurangi asumsi dalam sistem resmi atau bahasa. Apa yang telah dilakukan dalam kasus seperti itu adalah mendorong beberapa atau semua asumsi dasar ke dalam meta-bahasa, seperti  strategi eksplisit dari formalis. Kapanpun dan dimanapun harus memperkenalkan kebenaran ke dalam sistem, dan mendeduktifkan  semua teorema dari sistem (yang disediakan sistem tersebut aman, yaitu, konsisten).

Lakatos mengatakan, kita harus mengakui bahwa meta-matematika tidak menghentikan kemunduran infinitif dalam bukti-bukti yang sekarang muncul kembali dalam hirarki yang tak terbatas atas pengayaan metateori. (Lakatos, 1978, page22) Kebenaran matematika  akhirnya tergantung pada tereduksinya seperangkat asumsi, yang diadopsi tanpa demonstrasi tetapi untuk kualitas pengetahuan yang benar., asumsi memerlukan petunjuk untuk pernyataan mereka. Tidak ada petunjuk berlaku untuk pengetahuan matematika selain demonstrasi atau bukti. untuk itu asumsi adalah keyakinan, bukan pengetahuan, dan tetap terbuka untuk diperdebatkan, untuk menepis  keraguan.

Ini adalah argumen tengah melawan kemungkinan dalam pengetahuan matematika. Secara langsung bertentangan dengan klaim kelompok pemikiran mendasar absolutis. Diluar kelompok foundationist, itu dianggap sebagai sangkalan terjawab absolutisme oleh beberapa penulis.

Titik pandang kebenaran mutlak harus dibuang. Kenyataannya, 'dari setiap cabang matematika murni harus diakui sebagai asumsi  (' postulat atau aksioma), atau definisi atau teorema ... . Paling yang dapat diklaim adalah bahwa jika dalil-dalil adalah benar dan definisi diterima, dan jika metode penalaran yang sehat, maka teorema adalah benar. dalam kata lain, kita sampai pada konsep kebenaran relatif (dari dalil dalam kaitannya dengan postulat, definisi, dan penalaran logis) untuk menggantikan titik pandang kebenaran mutlak (Stabler, 1955, page24).

Yang kita sebut matematika murni adalah sistem hypotheticodeduktif. Aksioma-aksiomanya  digunakan sebagai hyphotheses atau asumsi-asumsi, yang  menyiratkan sebagai proposisi(Nagel Cohen, 1963) Kami hanya dapat menggambarkan aritmatika, yaitu, menemukan aturanaturannya, tidak memberikan dasar bagi mereka. Dasar tersebut tidak bisa memuaskan kita, karena alasan yang  kadang-kadang harus diakhiri dan kemudian merujuk kepada sesuatu yang tidak bisa didirikan lagi. Hanya konvensi tersebut adalah yang paling tinggi. Segala sesuatu yang tampak seperti sebuah yayasan, terus terang, sudah dicampur dan tidak boleh memuaskan kita.  (Waisman, 1951)

Pernyataan atau proposisi atau teori mungkin dirumuskan dalam pernyataan yang mungkin benar dan kebenaran mereka dapat dikurangi, dengan cara derivasi dengan proposisi primaritive. Upaya untuk membangun (bukan mengurangi) dengan ini berarti kebenaran mereka mengarah pada kemunduran yang tak terbatas. (Popper, 1979)

Kritik di atas ditujukan pada  pandangan absolutis matematika. Namun, adalah mungkin untuk menerima kritik tanpa mengadopsi filsafat fallibilist matematika. Untuk itu adalah mungkin untuk menerima bentukdeductivism hypothetico yang menyangkal corrigibility untuk kesalahan mendalam dalam matematika. Seperti terlihat posisi aksioma hanya sebagai hipotesis dari mana teorema matematika secara logis menyimpulkan, dan relatif terhadap yang teorema yang tertentu. dengan kata lain, meskipun aksioma matematika adalah tentatif, logis dan penggunaan logika untuk mendapatkan teorema dari aksioma untuk pengembangan matematika, meskipun dari dasar seperti dugaan.

Ini melemah dari posisi absolut menyerupai Russl dalam strategi penerapan aksioma jika-maka baik tanpa bukti atau biaya untuk keamanansistem. Namun posisi absolut ini melemah didasarkan asumsi yang membiarkannya terbuka untuk kritik fallibilist.

6. Kritik fallibilist untuk absolutism

Argumen mendasar terhadap pandangan absolutis pengetahuan matematika dapat dielakkan dengan pendekatan hypothetico-deduktif. Namun, di luar masalah diasumsikan kebenaran aksioma, pandangan absolutis mengalami kelemahan utama.

Yang pertama menyangkut logika yang mendasar pada pembuktian matematika lainnya.

Pembentukan kebenaran matematika, yaitu mendeduktifkan teorema dari seperangkat aksioma, membutuhkan asumsi lebih lanjut, yaitu aksioma dan aturan inferensi logika sendiri. Ini adalah non trivial dan tidak dapat diasumsikan untuk argumen di atas (yang tidak dapat diasumsikan pada masalah  lingkaran setan) berlaku sama logika.

Dengan demikian  kebenaran matematika tergantung pada  logika mendasar sama seperti asumsi matematis. Tidak mungkin hanya menambahkan semua asumsi logika untuk menetapkan asumsi matematika, setelah 'jika-maka' dari strategi hypothetico-logika deduktif menyediakan kanon dari kesimpulan yang benar dengan teorema matematika  yang diperoleh. Memasukkan semua asumsi logis dan matematis ke dalam 'bagian hipotesis'  dasar untuk bagian deduktif'  dari metode ini. Deduksi mengenai ' kesimpulan yang benar ", dan ini pada gilirannya didasarkan pada gagasan tentang kebenaran (kebenaran nilai) tapi apa yang kemudian dipakai sebagai dasar kebenaran logis?. Ini tidak dapat dibiarkan pada bukti, yang menjengkelkan dari lingkaran setan, sehingga harusdiasumsikan. tetapi setiap asumsi tanpa dasar yang kuat, apakah itu diperoleh melalui intuisi, konvensi, berarti atau apa pun, adalah salah."

Singkatnya, kebenaran matematika mendasarkan pada bukti deduksi dan logika. Tetapi logika sendiri tidak memiliki dasar tertentu. Ini terlalu bertumpu pada asumsi tereduksi. sehingga meningkatkan ketergantungan pada deduksi logis himpunan asumsi yang lain kebenaran matematika, dan ini tidak bisa dinetralisir oleh strategi 'jika-maka☂.

Dugaan lebih jauh dari pandangan absolut bahwa matematika pada dasarnya bebas dari kesalahan.untuk inkonsistensi dan absolutisme jelas tidak kompatibel. tapi ini tidak dapat didemonstrasikan. matematika terdiri dari teori-teori (misalnya teori grup, teori kategori) yang dipelajari dalam sistem matematika, berdasarkan serangkain asumsi (aksioma). untuk menetapkan bahwa sistem matematika aman (consistent), untuk setiap sistem sederhana tetapi kita dipaksa untuk memperluas serangkaian  asumsi dari sistem (teorema ketidaklengkapan Godel kedua, 1931). Oleh karena itu kita menganggap konsistensi sistem kuat untuk menunjukkan bahwa seorang lemah. Oleh karena itu kita tidak dapat mengetahui bahwa setiap sistem matematika termasuk yang paling sepele tetap aman, dan kemungkinan kesalahan dan inkonsistensi harus selalu tetap. Kepercayaan pada keamanan matematika harus didasarkan baik atas dasar empiris (tidak ada kontradiksi yang ditemukan pada sistem matematika ) atau pada iman, tidak memberikan dasar tertentu yang membutuhkan absolutisme.

Di luar kritik ini, ada masalah lebih lanjut pada penggunaan bukti sebagai dasar untuk kepastian dalam matematika. Hanya bukti formal deduktif sepenuhnya dapat berfungsi sebagai perintah untuk kepastian dalam matematika. Bukti seperti itu  hampir tidak ada. Absolutisme mengharuskan membentuk kembali matematika informal ke dalam sistem deduktif formal, yang memperkenalkan asumsi lebih lanjut. Masingmasing asumsi berikut adalah kondisi yang diperlukan untuk kepastian seperti dalam matematika. Masing-masing, itu berpendapat, adalah asumsi absolut tidak  diperlukan.

Asumsi A

Bukti bahwa publikasikan matematikawan sebagai tuntutan untuk menyatakan teorema berguna, pada prinsipnya, akan diterjemahkan ke dalam bukti-bukti formal yang ketat.

Pembuktianinformal yang dipublikasikan matematikawan biasanya cacat, dan tidak berarti seluruhnya dapat diandalkan (Dawis, 1972). Menerjemahkan mereka ke dalam bukti-bukti formal yang ketat sepenuhnya bukan tugas mesin. Hal ini membutuhkan kecerdikan manusia untuk menjembatani dan untuk memperbaiki kesalahan. Karena pemformalan total matematika  tidak mungkin akan dilakukan, nilai apa yang  diklaim bahwa bukti-bukti informal dapat diterjemahkan ke dalam bukti-bukti formal 'pada prinsipnya'?Ini adalah janji yang tidak terpenuhi, bukan alasan untuk kepastian.kekakuan total adalah  tidak tercapai dan bukan realitas praktis. Oleh karena itu kepastian tidak dapat diklaim untuk bukti matematika , bahkan jika kritik sebelumnya tidak dapat diabaikan.

Asumsi B

Bukti formal yang ketat dapat diperiksa kebenarannya. Sekarang ada bukti informal tidak dapat dicek manusia, seperti Appel-Haken (1978) bukti teorema empat warna (Tymoczko, 1979). Diterjemahkan ke dalam buktibukti formal yang ketat yang mana akan menjadi lebih panjang.  Jika ini tidak mungkin disurvei oleh seorang matematikawan, atas dasar apa mereka dapat dianggap sebagai kebenaran mutlak? Jika bukti tersebut diperiksa oleh komputer apa yang menjadi jaminan bahwa perangkat lunak dan hardware yang dirancang benar-benar  sempurna, dan bahwa perangkat lunak berjalan sempurna dalam praktek? Mengingat kompleksitas perangkat keras dan perangkat lunak tampaknya tidak masuk akal bahwa ini dapat diperiksa oleh satu orang. Selanjutnya, cek tersebut melibatkan unsur empiris (yakni, tidak berjalan sesuai dengan desain?). Jika memeriksa bukti-bukti formal tidak dapat dilakukan, atau memiliki unsur empiris, maka klaim, dari kepastian yang mutlak harus dilepaskan (Tymoczko, 1979).

Asumsi C

Teori-teori Matematika dapat secara sah diterjemahkan ke dalam serangkaian aksioma formal.

Formalisasi teori matematika intuitif dalam seratus tahun terakhir (misalnya, logika matematika, teori bilangan, teori himpunan, analisis) telah menyebabkan masalah yang mendalam dan tak terduga, sebagai konsep-konsep dan bukti berada di bawah pengawasan semakin menusuk, saat mencoba untuk menjelaskan dan merekonstruksimereka.Formalisasi memuaskan dari sisa matematika tidak dapat diasumsikan bukan masalah. Sampai formalisasi ini dilakukan tidak mungkin untuk menyatakandengan kepastian bahwa hal itu dapat dilakukan secara sah. Tapi sampai matematika diformalkan, ketelitian, yang mana diperlukan kondisi  untuk kepastian, diluar angan-angan.

Asumsi D

Konsistensi dari representasi (dalam asumsi C) dapat diperiksa.Seperti yang kita ketahui dari Teorema Ketidaklengkapan Godel, ini menambah beban secara signifikan terhadap asumsi-asumsi yang mendukung pengetahuan matematika. Jadi tidak ada jaminan kebenaran mutlak .

Masing-masing dari keempat asumsi menunjukkan di mana masalah lebih lanjut dalam membangun kepastian pengetahuan matematika mungkin timbul. Ini bukan masalah tentang kebenaran asumsi dari pengetahuan dasar matematika (yaitu, asumsi dasar). Melainkan ini adalah masalah dalam mencoba mengirimkan  kebenaran asumsi ini ke seluruh pengetahuan matematis dengan alat bukti deduktif, dan dalam membangun keandalan metode ini.

7. Pandangan  Fallibillist

Pandangan absolutis pada pengetahuan matematika telah dibahas secara sederhana, dan dalam pandangan saya, tak dapat dibantah pengkritik. Penolakan mengarah pada penerimaan yang berlawanan dari pandangan fallibilist pengetahuan matematika. Ini adalah pandangan bahwa kebenaran matematika adalah keliru dan yg dapat diperbaiki, dan tidak dapat dianggap sebagai di luar revisi dankoreksi. Tesis fallibilist  memiliki dua bentuk setara, satu positif dan satu negatif. Menyangkut bentuk negatif penolakan absolutisme: pengetahuan matematika tidak mutlak benar, dan tidak memiliki validitas mutlak. Bentuk positif adalah bahwa pengetahuan matematika  dapat diperbaiki dan selalu terbuka untuk revisi. Dalam bagian ini, saya ingin mendamonstrasikan yang mendukung pandangan fallibilist, dalam satu bentuk atau yang lain, jauh lebih luas daripada yang telah diharapkan. Berikut ini adalah pilihan dari berbagai ahli logika, matematika dan filsuf yang mendukung pandangan ini.

Dalam makalah ini 'Sebuah kebangkitan empirisme dalam filsafat' matematika, menunjukkan pandangan umum mereka mengenai 'ketidakmungkinan kepastian lengkap'  dalam mathematika, dan dalam banyak kasus, kesepakatan mereka bahwa pengetahuan matematika memiliki dasar empiris, membahas penolakan terhadap absolutisme. (Lakatos, 1978, halaman 25, kutipan dari Carnap).

Sekarang jelas bahwa konsep universal diterima, tubuh sempurna dari bumbu keagungan  matematika 1800 dan kebanggaan manusia-adalah ilusi besar. Ketidakpastian dan keraguan tentang masa depan matematika telah menggantikan kepastian dan kepuasan dari masa lalu. Keadaan sekarang matematika adalah olok-olok dari kebenaran sampai sekarang berurat-berakar dan banyak dan bereputasi kesempurnaan logis matematika.

(Kline, 1980, halaman 6)

Tidak ada sumber-sumber otoritatif pengetahuan, dan tidak ada 'sumber' yang sangat handal. Semuanya menyambut sebagai sumber inspirasi, termasuk'intuisi'Tapi tidak ada yang aman, dan kita semua berbuat salah. (Popper, 1979, halaman 134). Saya harus mengatakan bahwa di mana surveyability tidak hadir, yakni, di mana ada ruang untuk keraguan  apa yang  benar-benar  hasil substitusi ini, bukti tersebut gagal. Dan bukan dengan cara yang konyol dan tidak penting yang tidak ada hubungannya dengan sifat bukti.

Atau logika sebagai dasar matematika tidak bekerja, dan untuk menunjukkan ini cukup bahwa daya meyakinkan bukti logis berdiri dan jatuh dengan halyg meyakinkan geometri itu.Kepastian logis dari buktiSaya ingin katakan-tidak melampaui kepastian geometris mereka.

(Wittgenstein, 1978, halaman 174-5)

Sebuah teori Euclid dapat diklaimuntuk menjadi kenyataan, sebuah teori kuasi-empiris - terbaik - untuk menjadi baik-menguatkan, tetapi selalu bersifat terkaan. Juga, dalam teori Euclid laporan dasar yang benar di 'atas' dari sistem deduktif (biasanya disebut 'aksioma') membuktikan, seolah-olah, seluruh sistem; dalam teori kuasi-empiris adanya (benar) dasar laporan dijelaskan oleh keseluruhan sistem ... Matematika adalah kuasi-empiris(Lakatos, 1978, halaman 28-29 & 30)Tautologies yang tentu benar, tetapi matematika tidak. Kita tidak bisa mengatakan apakah aksioma aritmatika konsisten, dan jika tidak, setiap teorema tertentu mungkin aritmatika palsu. Oleh karena teorema ini tidak tautologies. Mereka harus tetap dan selalu tentatif, sementara tautologi adalah disangkal terbantahkan.

Matematikawan merasa dipaksa untuk menerima matematika sebagai kebenaran, meskipun dia sekarang ini kehilangan kepercayaan keharusan logis dan selamanya ditakdirkan untuk mengakui kemungkinan dibayangkan bahwa kain itu  tiba-tiba runtuh dengan mengungkapkan sebuah kontradiksi-diri. (Polanyi, 1958, halaman 187 dan 189) Doktrin bahwa pengetahuan matematika merupakan pepatah matematika apriori telah diartikulasikan dengan berbagai cara selama refleksi tentang matematika . Saya akan menawarkan gambaran pengetahuan matematika yang menolak apriorism matematika , alternatif untuk apriorism matematis - empirisme matematika - belum pernah diberi artikulasi rinci. Saya akan mencoba memberikan catatan hilang.

(Kitcher, 1984, halaman 3-4) Pengetahuan matematikal mirip pengetahuan empiris-yaitu, kriteria kebenaran dalam matematika seperti halnya dalam fisika adalah keberhasilan ide-ide kita dalam praktek, dan bahwa pengetahuan matematika yang dapat diperbaiki dan tidak mutlak.

(Putnam, 1975, halaman 51)Hal ini wajar untukmengajukan tugas baru untuk filsafat matematika: bukan untuk mencari kebenaran pasti tapi untuk memberikan catatan pengetahuan matematika seperti apa adanyasempurna, yang dapat diperbaiki, tentatif dan berkembang, seperti setiap jenis pengetahuan manusia lainnya. (Hersh, 1979, halaman 43)

Mengapa tidak jujur mengakui kesalahan matematis, dan mencoba untuk mempertahankan martabat pengetahuan sempurna dari skeptisisme sinis, daripada menipu diri sendiri bahwa kita akan bisa memperbaiki tanpa terlihat sobek terbaru dalam struktur 'utama kami' intuisi. (Lakatos, 1962, halaman l84)

8. Kesimpulan

Penolakan terhadap absolutisme tidak harus dilihat sebagai pembuangan matematika dari Taman Eden, dunia kepastian dan kebenaran. 'Kehilangan kepastian' (Kline. 1980) tidak berarti kehilangan pengetahuan. Ada analogi menerangi seperti perkembangan fisika modern. Teori Relativitas Umum memerlukan pelepasan absolut, kerangka acuan universal demi sebuah perspektif relativitas.. Dalam teori Quantum , Prinsip Ketidakpastian Heisenberg berarti bahwa pengertian pengukuran ditentukan secara tepat posisi dan momentum untuk partikel juga harus dilepaskan. Tapi apa yang kita lihat di sini tidak kehilangan pengetahuan tentang frame mutlak dan kepastian. Sebaliknya kita melihat pertumbuhan pengetahuan, membawa suatu realisasi dari batas dari apa yang dapat diketahui. Relativitas dan Ketidakpastian dalam fisika merupakan kemajuan besar dalam pengetahuan, kemajuan yang membawa kita untuk membatasi pengetahuan (begitu lama sebagaiteori yang dipertahankan).

Demikian juga dalam matematika, pengetahuan kita telah menjadi lebih baik  dan kita belajar lebih banyak tentang dasar, kami telah datang ke realisasi bahwa pandangan absolutis adalah idealisasi sebuah mitos. Ini merupakan suatu kemajuan dalam pengetahuan, bukan mundur dari kepastian masa lalu. absolut The Garden of Eden hanyalah surga orang bodoh.